คณิตศาสตร์ - บทความ : เกมคณิตศาสตร์ (4) - 13 กค 42<
เกมคณิตศาสตร์ (4)

ขณะนี้ก็ถึงเวลาเรียนภาคเรียนที่สองอีกแล้วนะครับ ในภาคเรียนี้นักเรียนที่เลือกเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษาปีที่ 3 จะได้เรียนเรื่องการพิสูจน์ในเรื่องเกี่ยวกับเรขาคณิต "เกมคณิตศาสตร์" ในฉบับนี้ จึงขอเสอนในรูปของปัญหาที่น่าสนใจ ซึ่งคงมีประโยชน์สำหรับอาจารย์บางท่านที่จะนำไปใช้ในการสอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเรื่องดังกล่าวได้ ไม่ว่าจะเป็นการนำเข้าสู่บทเรียนหรือระหว่างบทเรียน สำหรับท่านที่ไม่ได้สอนหรือเรียนคณิตศาสตร์โดยตรง ปัญหานี้ก็จะช่วยฝึกความคิดและวิธีการให้เหตุผลของท่านพอสมควร

ปัญหามีอยู่ว่า

"ชายหนุ่ม 3 คน เด๋อ เด่น และดู่ สามเพื่อเกลอ เดนทางจากกรุงเทพฯ ไปพัทยา โดยที่แต่ละคนเดินทางด้วยยานพาหนะที่แตกต่างกันคือ เครื่องบิน

1) นายเด๋อ และเพื่อนของเขาอีกคนหนึ่งซึ่งเดินทางโดยเครื่องบิน ไป ถึงพัทยาพร้อมกัน
2) ชายคนที่เดินทางโดยเครื่องบินไปถึงพัทยาก่อนคนที่เดิน ทางโดยรถยนต์ส่วนบุคคล
3) ระหว่างทางยานพาหนะของดู๋ต้องไปหยุดใหเขบวนรถไฟผ่านไปก่อน


อยากทราบว่า แต่ะคนเดินทางด้วยยานพาหนะชนิดใดพร้อมทั้งบอกเหตุผลด้วย

คงจะไม่ลำบากใช่ไหมครับในการหาว่าใตรเดนิทางด้วยยานพาหนะอะไร ซึ่งวิธีการหาคำตอบเหล่านั้นให้ถูกต้องก็คือการพยายามนำข้อมูลหรือสิ่งที่โจทย์ปัญหากำหนดเข้ามาพิจารณารวมกับความจริงบางอย่างที่เรายอมรับตรงกันว่าเป็นจริง (บางทีเราเรียนสัจพจน์) แล้วใช้หลักการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์นำไปสู่ข้อสรุปใหม่ๆ วิธีการอย่างนี้เราอาจจะเรียกว่าการพิสูจน์ที่ได้ แต่การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์นำไปสู่ข้อสรุปใหม่ ๆ วิะการอย่างนี้เราอาจจะเรียกว่าการพิสูจน์ก็ได้ แต่การให้เหตุผลต้องสมเหตุสมผล ซึ่งในการเรียนคณิตศาสตร์จะใช้วิธีการเหล่านี้อยู่เสมอ ๆ

ลองมาดูกันซิครับว่าเราจะให้เหตุผลเพื่อหาข้อสรุปจากปัญหาข้างต้นกันอย่างไร

ข้อความ
เหตุผล
1) เด๋อ เด่น และดู่ เดินทางจากกรุงเทพฯ ไปพัทยา โดยที่แต่ละคนเดินทางด้วยยานพาหนะที่แตกต่างกัน คือ เครื่องบิน รถยนต์โดยสารปรับอากาศ และรถยนต์ส่วนตัว 1) โจทย์กำหนดให้
2) นายเด๋อ และเพื่อนของเขาอีกคนหนึ่งซึ่งเดินทางโดยเครื่องบิน ไปถึงพัทยาพร้อมกัน 2) โจทย์กำหนด
3) ชายคนที่เดินทางโดยเครื่องบินไปถึงพัทยาก่อนคนที่เดิน ทางโดยรถยนต์ส่วนบุคคล 3) โจทย์กำหนด
4) ในระหว่างทางยานพาหนะของดู๋ต้องไปหยุดให้ขบวนรถไฟผ่านไปก่อน 4) โจทย์กำหนดให้
5) เด๋อไปถึงพัทยาก่อนคนที่เดินทางโดยรถยนต์ส่วน บุคคล 5) จากข้อ 2,3 เด๋อไปถึงที่ไปโดยเครื่องบิน
6) ดังนั้น เด๋อไม่ได้นั่งรถยนต์ ส่วนบุคคล 6) จากข้อ 5
7) และเด๋อไม่ได้เดินทางโดยเครื่องบิน 7) จากข้อ 2
8) ดังนั้น เด๋อเดินทางด้วยรถยนต์โดยสาร ปรับอากาศ 8) จากข้อ 1,6 และ 7
9) ยานพาหนะที่เป็นเครื่องบินไม่ต้องจอดให้รถไฟผ่าน ไปก่อน 9) สิ่งที่เห็นจริงแล้ว
10) ยานพาหนะของดู๋ต้องไม่ใช่เครื่องบิน 10) จากข้อ 4 และข้อ 9 (ยานพาหนะของดู๋ต้องจอดให้รถไฟผ่านไปก่อน)
11) ดังนั้น ยานพาหนะของดู๋อาจเป็นรถยนต์โดยสารปรับอากาศ หรือรถยนต์ส่วนบุคคล 11) จากข้อ 10
12) แต่เด๋อเดินทางด้วยรถปรับอากาศแล้ว 12) จากข้อ 8
13) ดังนั้น ดู๋ต้องเดินทางด้วยรถยนต์ส่วนบุคคล 13) จากข้อ 11 และ12
14) เด๋อเดินทางโดยเครื่องบิน 14) จากข้อ 1,12,13

เป็นอย่างไรครับ ท่านให้เหตุผลในทำนองนี้หรือเปล่า จากปัญหาดังกล่าวข้างต้น คงจะเห็นได้ว่า ในการเรียนเรขาคณิตนั้น ก็ใช้วิธีการตอบปัญหาที่คล้ายคลึงกับปัญหาที่กล่าวมานี้นั่นเองคือ ต้องประกอบด้วยการให้เหตุผล เพียงแต่ว่า เรื่องราวที่กล่าวถึงแทนที่จะเป็นเรื่องของคนและรถยนต์ ก็จะเป็นเรื่องของจุด เส้น มุม รูปต่าง ๆ ฯลฯ เหตุผลที่อ้างจึงแตกต่างกันไป การเรียนเรขาคณิตจึงดูว่าไม่น่าจะเป็นเรื่องที่ยุ่งยากแต่อย่างใด ท่านคิดอย่างนั้นหรือเปล่า

ที่มา: ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์

วารสาร สสวท. ปีที่ 11 ฉ.1 ตค. - ธค. 2525