ดนัย ยังคง*

ถ้ามีคำถามว่า "ในบรรดารูปสี่เหลี่ยมทั้งหลาย ถ้ารูปสี่เหลี่ยมนั้นมีเส้นรอบรูปยาวเท่ากันแล้ว รูปสี่เหลี่ยมเหล่านั้นจะต้องมีพื้นที่เท่ากันหรือไม่"
เกือบทุกคนจะต้องตอบอย่างเสียงดังฟังชัดว่า "ไม่จำเป็น" และบางคนอาจจะให้เหตุผลโดยยกตัวอย่างค้านให้ดูอย่างทันทีทันใด

และสำหรับคำถาามที่ว่า "ในบรรดารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหลายที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน หรืออีกนัยหนึ่งก็คือรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสนั้นจะเป็นรูปที่มีพื้นที่มากที่สุด จริงหรือไม่"
หลายๆ คนก็คงจะตอบได้ว่า "จริง" และบางคนก็อาจจะแสดงการพิสูจน์ให้ดูได้โดยวิธีการต่าง ๆ กัน ไม่ว่าจะใช้แคลคูลัสหรือใช้การหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชั่นก็ตาม

ส่วนคำถามต่อไปนี้ล่ะ ท่านเคยเห็นหรือเคยคิดแก้ปัญหานี้บ้างหรือไม่

"ในบรรดารูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากันและพื้นที่ของแต่ละรูปเท่ากันด้วย สี่เหลี่ยมนั้นจะมีรูปต่างกันไม่ได้ นั่นคือ สี่เหลี่ยมแต่ละรูปเหล่านั้นจะต้องทับกันสนิท" คำถามนี้กล่าวอย่างง่าย ๆ ก็คือเมื่อกำหนดความยาวของเส้นรอบรูปและพื้นที่ให้ จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมอย่างนั้นได้เพียงรูปเดียวเท่านั้น จริงหรือไม่ ....อย่างไร...?

ถ้าไม่จริง จะหาตัวอย่างมาคัดค้านให้ดูกันหน่อยได้หรือเปล่า
หรือถ้าเป็นจริง.....จะพิสูจน์ให้เห็นจริงได้หรือไม่......

ลองคิดกันดูก่อนสักหน่อย....จะดีไหม.....
อย่าพึ่งรีบแอบดูเฉลยกันก่อนนะจ๊ะ
ลองคิดหน่อย เป็นไร ไม่ยากดอก
ถ้าคิดออก เองได้ ชื่นใจโข
หัดคิดได้ ทั้งเด็กเล็ก และเด็กโต
คุณผู้ใหญ่ ก็ยิ่งโก้ ถ้าคิดกัน
คิดมิได้ ใช่ว่า ต้องหน้าแตก
มิเห็นเป็น เรื่องแปลก ประหลาดนั่น
แต่ยิ่งคิด คุณยิ่งได้ ไว้ทุกวัน
เป็นทรัพย์อัน มีค่า "ปัญญา" เอย.
เป็นอย่างไรครับ...จริงหรือไม่..... คุณคิดกันได้แล้วใช่ไหมเอ่ย....!
ถ้ายังไม่ได้ ก็ลองแข็งใจดูอีกหน่อย.... หรือไม่ก็ หาเวลาพักสักครู่ คงจะดี... แล้วมาลองกันใหม่อีกสักครั้ง...

คิดว่า ท่านผู้อ่านคงจะพอเดาคำตอบได้แล้วนะครับว่าไม่จริง ส่วนเหตุผลของแต่ละคนนั้นก็คงจะต่าง ๆ กันไป

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการสร้างรูปสี่เหลี่ยมให้มีพื้นที่และความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับพื้นที่ และความยาวเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้แต่รูปทั้งสองไม่จำเป็นต้องทับกันสนิท

ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้ ซึ่งจะมีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับ

AB + BC + CD + AD

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD จะเท่ากับ (BD) (AX + CY) เมื่อ เป็นเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งของสี่เหลี่ยมนี้ และ AX กับ CY เป็นส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม ABD    และรูปสามเหลี่ยม BCD ตามลำดับ โดยมี เป็นฐานร่วม

จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมให้มีรูปร่างต่างจากรูปสี่เหลี่ยม ABCD แต่ให้มีพื้นที่และความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับรูปสี่เหลี่ยม ABCD ได้วิธีหนึ่งดังนี้
 
พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC จากรูปสี่เหลี่ยม ABCD ที่กำหนดให้ จะเห็นว่า
เราสามารถสร้างรูปครึ่งวงรีบนเส้นตรง BD ได้ โดยให้ B และ D เป็นจุดโฟกัสของวงรี และผลบวกคงตัวของวงรีหรือความยาวของแกนเอกจะเท่ากับ AB + AD หน่วย

นั่นคือ วงรีนี้จะผ่านจุด A ด้วย และจุดกึ่งกลางของ จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงรีนี้

ในทำนองเดียวกันเมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยม BCD เราสามารถสร้างรูปครึ่งวงรีใต้เส้นตรง BD ได้ โดยให้ B และ D เป็นจุดโฟกัสของวงรีนี้ และผลบวกคงตัวหรือความยาวของแกนเอกจะเท่ากับ BC + CD หน่วย

นั่นคือ วงรีนี้จะผ่านจุด C และจุดกึ่งกลางของ จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงรีนี้

ดังนั้น จะมีรูปครึ่งวงรีบน และใต้ ดังรูป 2

ขั้นตอนการสร้างรูปสี่เหลี่ยม MBND ให้มีพื้นที่และเส้นรอบรูป เท่ากับรูปสี่เหลี่ยม ABCD ดังนี้

(1) จากรูป 2 ลากเส้นตรง l1 ให้ขนานกับ อยู่เหนือ เป็นระยะ h1 หน่วย และลากเส้นตรง l2 ให้ขนานกับ อยู่ใต้ เป็นระยะ h2 หน่วย ซึ่ง h1 + h2 = AX+YC = h โดยที่ h1 มีค่าไม่เกินครึ่งหนี่งของความยาวของแกนโทของครึ่งวงรีบน และ h2 มีค่าไม่เกินครึ่งหนึ่งของความยาวของแกนโทของครึ่งวงรีใต้
เส้นตรง  l1จะตัดรูปครึ่งวงรีรูปบน และ l2 จะตัดรูปครึ่งวงรีรูปล่าง อย่างน้อยเส้นละ 1 จุด

(2) ใช้จุด B, D พร้อมทั้งจุดที่ครึ่งวงรีรูปบนตัดกับเส้นตรง l1 จำนวน 1 จุด (จุด M ) และจุดที่ครึ่งวงรีรูปล่างตัดกับเส้นตรง l2 อีก 1 จุด (จุด N) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม

(3) จะได้สี่เหลี่ยม MBND ตามที่ต้องการ ดังรูป 3

ในการลากเส้นตรง l1 และ l2 ตัดรูปครึ่งวงรีนั้น เพื่อให้เกิดความสะดวกในการสร้าง อาจสร้างอุปกรณ์เพื่อช่วยในการเขียนเส้นตรง l1 และ l2 ได้ ดังนี้

ตัดแถบแผ่นพลาสติกให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยให้ความยาวของด้านยาวยาวพอเหมาะ ส่วนความกว้างจะเท่ากับ h หน่วย

วิธีใช้ : เลื่อนแผ่นพลาสติกให้ด้านยาวขนานกับ และขอบของด้านยาวด้านบนและด้านล่างตัดครึ่งวงรีรูปบนและรูปล่างตามลำดับ ขอบด้านยาวของพลาสติกจะเป็นเสมือนหนึ่งเส้นตรง l1 และ l2ที่ผู้ใช้สามารถเลือกหาจุดตัดต่าง ๆ กันได้ในแต่ละครั้ง

จากรูปสี่เหลี่ยม MBND ที่สร้างได้ดังกล่าว เราสามารถแสดงได้ว่า

(1) พื้นที่สี่เหลี่ยม MBND เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD

(2) เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมทั้งสองยาวเท่ากัน นั้นคือ
MD + MB + BD + ND = AD + AB +BC +CD

พิสูจน์ 1. MBND ซึ่งมี เป็นฐานและส่วนสูงเท่ากับ h1 หน่วย จะมีพื้นที่เท่ากับ (BD) (h1)
2. NBD ซึ่งมี เป็นฐานและส่วนสูงเท่ากับ h2 จะมีพื้นที่เท่ากับ (BD) (h2)
3. พื้นที่ MBND = พื้นที่ MBD + พื้นที่ BND
= (BD) (h1) + (BD) (h2)
4. แต่จากการสร้าง : h1 + h2 = h = AX + YC
5. ดังนั้นพื้นที่ MBND = (BD) (AX + YC)
= พื้นที่ ABCD

6. เนื่องจากจุด M และ A เป็นจุดบนครึ่งวงรีเดียวกันที่มี B และ D เป็นจุดโฟกัส จากบทนิยามของวงรีที่กล่าวว่า "จากจุดใด ๆ บนวงรี ผลบวกของระยะทางจากจุดนั้น ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองจะมีค่าคงตัว" จะได้
MD + MB = AB + AD
7. และเนื่องจากจุด N และ C เป็นจุดบนครึ่งวงรีเดียวกันที่มี B และ D เป็นจุดโฟกัส จากบทนิยามของวงรีจะได้
BN +ND = BC +CD
8. จากข้อ 6. และ 7. จะได้
MD + MB +BN +ND = AD +AB +BC +CD
9. นั่นคือ เส้นรอบรูปของ MBND ยาวเท่ากับเส้นรอบรูปของ ABCD

ดังนั้น จะเห็นว่า เมื่อกำหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้ เราสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยม MBND ให้มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน และมีพื้นที่เท่ากัน โดยที่สี่เหลี่ยมสองรูปนั้นไม่จำเป็นต้องทับกันสนิท

เป็นอย่างไรบ้าง ท่านผู้อ่านคิดแบบเดียวกับวิธีที่ได้แสดงให้ดูหรือเปล่า หรือว่ามีวิธีอื่นที่แตกต่างจากนี้ อย่าลืมบอกมาให้รู้กันบ้าง (จุ๊จุ๊ อย่าเอ็ดไป มีจริง ๆ นะครับ ใช้ความรู้ระดับมัธยมศึกษาตอนต้นเท่านั้น)

และสำหรับปัญหานี้ จะมีคำตอบอย่างไรกันดี

ั"เมื่อกำหนดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประชิดยาวไม่เท่ากันให้ จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากอื่น ๆ ที่มีพื้นที่เท่ากันและมีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน โดยที่รูปสี่เหลี่ยมที่สร้างใหม่นี้จะต้องไม่ทับกันสนิทกับรูปสี่เหลี่ยมเดิม .... ได้หรือไม่...."

และคุณจะเชื่อหรือไม่ ถ้ามีผู้กล่าวว่า

ั"เมื่อกำหนดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้ 1 รูป เราจะไม่สามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ ที่มีพื้นที่เท่ากัน และมีเส้นรอบรูปยาวเท่ากันกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำหนดได้"

ถ้าไม่เชื่อ.... แล้วเราจะสร้างรูปสี่เหลี่ยมนั้นได้อย่างไร และพิสูจน์ให้เห็นจริงได้หรือไม่ ... น่าคิดนะครับ
ลองเขียน ลองคิด อีกนิดน่า
ได้โปรดอย่า คิดว่ามัน นั้นยากยิ่ง
อาจจะร้อง อุ๊ยง่ายจัง ว๊าย! ง่ายจัง
ไม่มีสิ่ง ใดยาก หาก...คิด...ทำ...

คำถามสุดท้าย อยากจะถามท่านผู้อ่านที่เป็นครูคณิตศาสตร์ว่า

คิดว่าจะนำปัญหาที่กล่าวมาข้างต้นไปใช้ในกิจก รรมการสอนเรื่องภาคตัดกรวยได้อย่างไรบ้างครับ

ที่มา: หัวหน้าสาขาวิชาคณิตศาสตร์มัธยมศึกษาตอนปลาย สสวท.