เกมคณิตศาสตร์ (1)

ในแวดวงของผู้ที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์โดยตรงแล้ว หลายคนคงจะเห็นตรงกันว่า มีอยู่วลีหนึ่งที่เป็นปัญหาสำหรับผู้ถามและผู้ตอบอยู่เสมอ ทั้ง ๆ ที่วลีนั้นเป็นวลีธรรมดา ๆ ที่ดูแล้วก็ไม่น่าจะเป็นปัญหากันเลย

"หาค่าไม่ได้"

เพียงวลีสั้น ๆ เท่านี้ แต่บางครั้งก็สร้างปัญหาได้เหมือนกัน ถ้านักเรียนจะเป็นผู้ตอบว่า "หาค่าไม่ได้ครับ"หรือ"หาค่าไม่ได้ค่ะ" หรือบางครั้งตอบสั้น ๆ ว่า "หาไม่ได้"

ก่อนจะคุยถึงคำ ๆ นี้ เรามาลองดูเกมที่เป็นปัญหาที่น่าคิดกันหน่อยก่อนก็แล้วกัน

คุณหาได้หรือเปล่า ! เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งให้ ให้คุณเขียนจำนวนนั้นใหม่ ในรูปของผลบวกของจำนวนเต็มต่าง ๆ ที่เรียงติดกัน (ซึ่งอาจจะเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่ติดกัน หรือมากกว่า 2 จำนวนก็ได้) ดังตัวอย่าง เมื่อกำหนด 7 ให้จะเขียนได้เป็น 3 + 4 15 จะเขียนได้เป็น 4 + 5 +6 หรือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ก็ได้ 21 จะเขียนได้เป็น 6 +7 + 8

ปัญหาประเภทนี้เป็นปัญหาที่ครูอาจจะใช้สอดแทรกในระหว่างการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อเป็นการเปลี่ยนบรรยากาศบ้างก็คงจะดีนะครับ บางทีในชั่วโมงที่นักเรียนว่าง แทนที่จะให้นักเรียนเล่นกันส่งเสียงดัง ครูอาจจะนำเกมปัญหานี้ไปใช้เพื่อลดพฤติกรรมที่ไม่พึงประสงค์เสียบ้างก็ยังได้ แต่ก็คงต้องเลือกตัวปัญหาที่ต้องใช้ความคิดกันหนัก ๆ หน่อย เช่น 22   48   80 เป็นต้น ซึ่งคงไม่ลำบากสำหรับผู้ตั้งโจทย์ปัญหาเท่าใดนัก

แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้ครับ" หรือ "หาไม่ได้ค่ะ" แล้วจะทำอย่างไร ถ้าเราจะฝึกหัดให้นักเรียนเป็นคนช่างคิด ก็คงจะไม่ปล่อยให้คำถามนี้ผ่านไปเฉย ๆ คงจะต้องมีการถามกันต่อไปอีกนิดหน่อยว่า ที่ว่า "หาไม่ได้" นั่น หมายถึงอย่างไร เพราะบางทีคำว่า "หาไม่ได้" นั้นหมายความว่า นักเรียนจนปัญญาเสียแล้ว คิดไม่ออกว่าจะหาด้วยวิธีไหนดี แต่บางครั้งก็ไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้นเสมอไป อาจจะหมายความว่า ไม่มีคำตอบก็ได้ และที่ว่าไม่มีคำตอบก็ไม่ได้หมายความว่า นักเรียนคิดคำตอบไม่ออกบอกไม่ถูก แต่หมายความว่า คำตอบไม่มี ซึ่งยิ่งฟังก็ยิ่งยุ่ง

ลองมาดูตัวอย่างก็แล้วกัน คงพอทำให้หายยุ่งได้บ้าง "tan 90o มีค่าเท่าไร" คำตอบคงเป็นทำนองนี้ หาค่าไม่ได้.... ไม่มีค่า... หาไม่ได้... ซึ่งหมายรวมไปถึง ไม่มีความหมาย หรือในที่สุดอาจมีผู้ตอบว่า ไม่นิยาม (นักเรียนหลักสูตรใหม่คงไม่ตอบว่า มีค่ามากมายมหาศาล หรือ อินพินิตี้ (infinity, ) นะครับ ถ้าตอบมา เห็นทีจะต้องมีคำถามต่อไปเป็นชุด ๆ แน่) "ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 2) และ (1, 5) มีค่าเท่าใด" "จำนวนนับที่มากที่สุดคือจำนวนใด" "10 หารด้วย 0 เท่ากับเท่าใด" "จำนวนตรรกยะที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 7 คือจำนวนใด" คำตอบที่ได้ก็คงจะเป็นแบบเดียวกับข้างต้น ซึ่งมีความหมายว่า "ไม่มีคำตอบ" แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" หรือ "หาค่าไม่ได้" ในอีกความหมายหนึ่งที่ว่ายังคิดไม่ออก หรือหมดปัญญาเสียแล้ว ก็คงจะต้องชี้แนะกันต่อไป ประเด็นที่สำคัญก็คือ ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" ในความหมายข้างต้นที่ยกตัวอย่างมา นักเรียนควรจะบอกเหตุผลตามหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ได้ด้วย จึงจะนับว่ามีประโยชน์ ลองมาคิดเกมปัญหากันอีกสักปัญหานะครับ "จงหาจำนวนคี่มา 5 จำนวนซี่งเมื่อรวมกันแล้ว ได้ 64" หาได้หรือยังครับ ยากไปไหมเอ่ย มีใครอยากจะตอบว่า "หาไม่ได้"บ้างหรือเปล่า ถ้าอยากตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะยังคิดไม่ออกหรือคิดไม่ได้ ก็ลองหยุดคิดสักพัก แล้วค่อยพยายามใหม่อีกครั้งนะครับ แต่ถ้าตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะมันเป็นไปไม่ได้ หรือ เพราะว่าไม่มีคำตอบ ก็ต้องขอถามต่อว่า มีเหตุผลอย่างไรที่ตอบว่า ไม่มีคำตอบ หรือไม่มีทางทำได้ เหตุผลที่คุณคิดเป็นอย่างนี้หรือเปล่า เนื่องจากสิ่งที่ต้องการให้หาคือจำนวนคี่ 5 จำนวน ที่รวมกันแล้วได้ 64 แต่เราทราบแล้วว่า "จำนวนคี่ใด ๆ 2 จำนวน รวมกันผลบวกย่อมเป็นจำนวนคู่ "และ "จำนวนคู่ใด ๆ 1 จำนวน รวมกับจำนวนคี่ใด ๆ 1 จำนวน ผลบวกต้องเป็นจำนวนคี่"

กฎเกณฑ์ทั้ง 2 ประการนี้คงจะเห็นได้ชัดเจน ถ้าจะให้พิสูจน์ได้ไม่ยากนัก

ดังนั้น เมื่อนำจำนวนคี่จำนวนที่ 1 รวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 2 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคู่ และเมื่อรวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 3 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคี่ และเมื่อรวมกับจำนวนที่ 4 ผลรวมก็จะเป็นจำนวนคู่ ซึ่งเมื่อรวมกับจำนวนที่ 5 ผลรวมย่อมต้องเป็นจำนวนคี่เสมอ ซึ่งไม่มีโอกาสที่จะเท่ากับ 64 ซึ่งเป็นจำนวนคู่ได้เลย

เกมปัญหาทำนองนี้ ครูผู้สอนอาจจะนำไปให้นักเรียนลองคิดดูเล่น ๆ หรือใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับวลี "หาค่าไม่ได้" ก็ได้ โดยอาจจะบอกนักเรียนว่า ถ้าใครคิดได้ จะเพิ่มคะแนนเก็บให้สัก 10 คะแนน นักเรียนก็อาจจะอยากคิดกันบ้างกระมัง และถ้านักเรียนบอกเหตุผลได้ การที่จะให้ 10 คะแนนก็ไม่น่าเสียดายใช่ใหม่ครับ

---

* ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์

ที่มา: วารสาร สสวท. ปีที่ 12 ฉ.3 เมย. - มิย. 2527

---