การจำลองแบบด้วยคณิตศาสตร์

ธรรมชาติสร้างสิ่งต่าง ๆ วิวัฒนาการสร้างสิ่งมีชีวิต สร้างสิ่งแวดล้อมที่สมดุลย์ มนุษย์เป็นผลของธรรมชาติที่เกิดขึ้นในโลก มนุษย์เป็นสัตว์ที่มีพัฒนาการได้มากที่สุด มนุษย์มีมันสมอง มีความฝึกคิด มีการเรียนรู้และเข้าใจในสิ่งต่าง ๆ ได้มาก ความอยู่รอดของมนุษย์จึงขึ้นอยู่กับสติปัญญาหากพิจารณาดูจะพบว่ามนุษย์ปราศจากเขี้ยวเล็บ หรืออาวุธประจำร่างกาย แต่สามารถดำรงชีวิตที่ยาวนานและมีพัฒนาการความเป็นอยู่ได้ดีกว่าสัตว์อื่น ๆ มากมาย

ภาษาที่มนุษย์ใช้สื่อสารก็เป็นส่วนหนึ่งของวิวัฒนาการทางธรรมชาติ ภาษาเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ภาษาที่ใช้สื่อสารกันจึงเรียกว่าภาษาธรรมชาติ (natural language) เป็นผลมาจากวิวัฒนาการทางสังคมและความเป็นอยู่ที่รวมกลุ่มกัน การรวมกลุ่มกันเพื่อพึ่งพาอาศัยและสร้างความอบอุ่นในเรื่องจิตใจ ภาษาจึงมีการแบ่งแยกตามกลุ่มชนเป็นภาษาเฉพาะต่าง ๆ

คณิตศาสตร์ก็แบ่งแยกเป็นสาขา การแบ่งแยกเป็นสาขาเพราะมนุษย์ได้พัฒนาการเรียนรู้ และวิชาการต่าง ๆ ขึ้นมาเพื่อ การพัฒนาวิชาการด้านคณิตศาสตร์ก็เพื่อที่จะใช้เป็นเครื่องมือในการอธิบายสิ่งต่าง ๆ ในธรรมชาติ การพัฒนาคณิตศาสตร์ตั้งแต่การนับจำนวนผลไม้ที่มนุษย์มี จนถึงคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการอธิบายกฎเกณฑ์ทางธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีทางฟิสิกส์ การใช้ในงานทางด้านวิศวกรรม เช่น ทฤษฎีของยูคลิดทำให้มนุษย์สามารถเข้าใจจักรวาล เข้าใจการเคลื่อนที่ของดวงดาวเคราะห์ในท้องฟ้า จนถึงการพัฒนาสิ่งก่อสร้าง สร้างบ้านเรือน ที่อยู่อาศัยซึ่งก็ต้องใช้คณิตศาสตร์ต่าง ๆ เกี่ยวข้อง

ทฤษฎีระบบ แนวคิดในการอธิบายปรากฎการณ์ธรรมชาติต่าง ๆ ส่วนใหญ่ใช้ทฤษฎีระบบ ลองนึกดูว่าหากเราจินตนาการคอมพิวเตอร์ หลายคนมีความคิดในสมองที่แตกต่างกัน บางคนนึกถึงเครื่องคำนวณอิเล็กทรอนิกส์ที่คำนวณได้รวดเร็ว บางคนนึกถึงกล่องสี่เหลี่ยมที่ภายในมีซีพียู บางคนนึกถึงวงจรอิเล็กทรอนิกส์ที่ทำงานด้านรหัสตัวเลข ฐาน ลอง ความคิดในเรื่องเดียวกันแต่นึกคิดแตกต่างกัน อาจจะจินตนาการในมุมมองต่างกัน ดังนั้นคอมพิวเตอร์จึงมีลักษณะตามความนึกคิด ซึ่งแก่นแท้จะกลายเป็น มโนทัศน์ หรือจินตภาพ ซึ่งเราอาจจะเรียกความนึกคิดลึก ๆ เกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ ที่มีอยู่ในสมองนี้ว่า concept ซึ่งหากวิเคราะห์ดู จะเป็นว่าภายในมโนภาพเหล่านั้นประกอบด้วย ออปเจ็ก แอตตริบิ้ว ความสัมพันธ์ และระบบ

ออปเจ็ก (objects) เป็นส่วนที่สำคัญของระบบ เช่นในตัวอย่างของระบบโมเลกูลของกาซ ออปเจ็กก็คือโมเลกูล หรือในระบบการซื้อการขาย ระบบการตลาด ออปเจ็กก็คือผู้ซื้อผู้ขาย

สำหรับแอตตริบิ้ว ก็คือคุณสมบัติของออปเจ็ก เช่น สี รูปร่าง น้ำหนัก หรือคำอธิบายที่จะให้รายละเอียดข้อมูลออปเจ็ก เช่นกรณีของบุคคลก็มีแอตตริบิ้วประกอบว่า ซื้ออะไร อายุเท่าไร อยู่ที่ไหน จะติดต่อทางโทรศัพท์ได้อย่างไร ยังมีส่วนประกอบที่สำคัญคือ ความสัมพันธ์ คือส่วนที่เกี่ยวข้องระหว่างกัน สังเกตุว่าการรับรู้ออปเจ็กเป็นเพราะมีแอตตริบิ้วเป็นส่วนประกอบอธิบาย ความเกี่ยวข้องกันจึงเป็นความเชื่อมโยงระหว่างแอตตริบิ้วของออปเจ็กกับแอตตริบิ้วอื่นของออปเจ็ก หรืออาจพิจารณาได้ว่าออปเจ็กมีการเชื่อมโยงระหว่างกัน เช่น อาจารย์ มีลูกศิษย์ ลูกศิษย์หรือนักเรียน เรียนวิชาและ อาจารย์ก็สอนหนังสือในวิชาต่าง ๆ

จากความสัมพันธ์เหล่านี้จึงเขียนเกี่ยวโยงกันเป็นระบบ โดยระบบถ้าไม่มีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ กับเวลา โดยที่พารามิเตอร์ของแอตตริบิ้วไม่เปลี่ยนแปลงกับเวลา เราก็เรียกว่า สแตติก แต่หากมีการเปลี่ยนแปลงกับเวลา ตัวอย่างเช่น สปริงที่เมื่อมีแรงกด และเกิดการสั่นสเทือนเราก็เรียกว่าระบบนั้นเป็นระบบไดนามิก

สิ่งแวดล้อม สิ่งแวดล้อมของระบบเป็นกลุ่มของออปเจ็กที่อยู่ภายนอกระบบซึ่งอาจจะมีความสัมพันธ์กับระบบภายใน ส่วนของระบบที่พิจารณากับสิ่งแวดล้อม คือ ระบบเปิด (open system) คือระบบที่มีความสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อม และระบบปิด (close system) คือระบบที่คิดเฉพาะภายในระบบ โดยให้ข้อสมมุติว่า ไม่มีส่วนเกี่ยวข้อง หรือ มีความสัมพันธ์กับออปเจ็กอื่นในสิ่งแวดล้อม

ระบบจริง (real system) คือส่วนของการอธิบายสถานะจริง หรือเหตุการณ์จริง ซึ่งเกี่ยวข้องกับปรากฎการณ์ธรรมชาติ หรือวิถีทางธรรมชาติ

ระบบตามความนึกคิด (Abstract system) เป็นระบบที่สร้างขึ้นตามความนึกคิด โดยไม่เกี่ยวข้องกับระบบจริง เป็นความนึกคิดหรือจินตนาการ เช่น x1 x2 เป็นตัวแปรจำนวนจริงสองตัว x1 และ x2 เป็นออปเจ็ก โดยมีแอตตริบิ้วเป็นค่าขนาด สมมุติว่าตัวแปรทั้งสองมีความสัมพันธ์เป็นไปตามสมการ

a11 x1 + a12 x2   =   b1
a21 x1 + a22 x2    =   b2

ความสัมพันธ์ในลักษณะนี้เป็นความสัมพันธ์ของโมเดลตามแนวความนึกคิดที่ใช้คณิตศาสตร์เป็นตัวนำ x1 และ x2 มีค่าความสัมพันธ์คงที่ เราก็เรียกระบบนี้ว่าสแตติก

แต่ถ้าความสัมพันธ์ตามความนึกคิดที่เขียนขึ้นได้ตามสมการคณิตศาสตร์โดยมีการเปลี่ยนแปลงกับเวลา เช่น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ x1 และ x2 ต่อเวลาคือ และ

  =   a11 x1 + a12 x2
  =   a21 x1 + a22 x2

การที่ระบบมีการเปลี่ยนแปลงไปกับเวลา เราก็เรียกระบบนี้ว่าเป็นระบบแบบไดนามิก

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
 

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์