| 1. ความงามแห่งตัวเลข (1)!!! (level : 1) |
| จงเติมเลขโดด
1 - 9 ให้เป็นจำนวนที่มี
9 หลัก
โดยจำนวนนั้นมีคุณสมบัติว่าห้ามใช้เลขโดดซ้ำกัน
และมีคุณสมบัติว่า เลขสองหลักแรกหารด้วย 2 ลงตัว เลขสามหลักแรกหารด้วย 3 ลงตัว . . . เลขทั้งเก้าตัวนั้นหารด้วย 9 ลงตัว เช่น 12365 , 12 หาร 2 ลงตัว , 123 หาร 3 ลงตัว , 1236 หาร 4 ลงตัว เป็นต้น เฉลย 381654729 <--- click แถบ |
| 2. จำนวนเต็มบวก 5 จำนวน (level : 2) |
| จงหาเซตจำนวนเต็มบวก 5 จำนวนที่มีสมบัติว่า ผลคูณของมันจะมีค่าเท่ากับผลบวก |
| 3. หาอัตราส่วนของพื้นที่ (level : 3) |
| จงหาอัตราส่วนของพื้นที่ส่วนที่แรเงาต่อพื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่
เมื่อกำหนดให้เส้นตรงที่ลากจากแต่ละจุดยอด
จะแบ่งด้านออกเป็น 3 ส่วน |
| 4. รากที่สาม (level : 1) |
จำนวนจำนวนหนึ่งเมื่อนำไปหารากที่สามแล้ว ค่าที่ได้จะมีค่าเหมือนกับเอาจำนวนจำนวนนั้นมาตัดหลักท้ายทิ้งไปสามหลัก จงหาเลขจำนวนนั้น |
| 5. จำนวน 4 จำนวน?? (level : 3) |
กำหนด a ,b ,c ,d เป็นจำนวนเต็มบวก และ a < b < c < d มีคุณสมบัติว่า 1. ad = bc 2. a+d และ b+c สามารถเขียนในรูปสองยกกำลังจำนวนเต็มได้ทั้งคู่ (เช่น 2,4,8,16,32 เป็นต้น) จงหา {a,b,c,d} ที่สอดคล้องกับสมบัติดังกล่าวมา 2 ตัวอย่าง และหารูปทั่วไปของเซตคำตอบนี้ |
6. จำนวนตรรกยะ (level : 3) |
จงหาจำนวนตรรกยะบวก x,y ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ x y = y x |
7. หาพื้นที่ (level : 2) |
หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม abcd Hint ---> หาจุดตัด a,b,c,d บนระนาบ XY |
8. Prove this (Korean Undergraduate Math Competition (1996) (level : 2) |
พิสูจน์ว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวก n ใดๆ ที่ทำให้ n 3 + 7 เป็น square number (square number = จำนวนที่เขียนในรูปยกกำลังสองได้ เช่น 4 9 16 25 ...) |
| 9. Prove (level :3) |
พิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ |
| 10. log (level : 2) |
จงหาจำนวนบวก
a , b โดย a > 1 ที่ทำให้
มีผลเฉลยเพียงค่าเดียว |
11. ??? (level : 3) |
จงหาค่าของ Hint ----> พิสูจน์ x+1 = sqrt(1+x*sqrt(1+(x+1)*sqrt(1+(x+2)*sqrt(...))) |
| 12. จำนวนเต็ม (level : 3) |
จงหาจำนวนเต็มบวก a , b ทั้งหมด ที่ทำให้ a 2 + b 2 +1 ถูกหารด้วย ab ลงตัว เฉลย เร็วๆนี้ |
| 13. เลข 8 หลัก (level : 2) |
ให้ a,b,c,d แทนเลขโดด 0-9 ที่ไม่ซ้ำกัน จงหาตัวเลขแปดหลักทั้งหมดที่เขียนในรูปของ abcddcba ที่สามารถหารด้วย 137 ลงตัว |
| 14. algebra (level:1) (INMO '97) |
กำหนด a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a = t โดย a,b,c แทนจำนวนจริงที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า abc + t = 0 |
15. ตรีโกณมิติ (level : 4) |
จงพิสูจน์ว่า Hint ----> ใช้ทฤษฎีบทของเดอร์มัวร์ |
| 16. integrate (level:2) |
จงหาค่าของ |
17. เปรียบเทียบ?? (level:1) ---> |
จงเปรียบเทียบระหว่าง 31 11 กับ 17 14 (ห้ามใช้เครื่องคำนวณ) |
18. หรม , ครน (level : 2) |
ในการหา หรม และ ครน ของเลขจำนวนเต็มบวก 2 ตัว พบความสัมพันธ์ดังนี้ 1. ผลต่างของเลข 2 จำนวนนั้น มีค่าเท่ากับ หรมบวกด้วย 1 2. ผลบวกของเลข 2 จำนวนนั้น มีค่าเท่ากับ ครนบวกด้วย 1 จงหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด Hint ---> พิสูจน์ให้ได้ว่า หรม ต้องเท่ากับ 1 เท่านั้น |
19. IMO 2000 (level:2) |
กำหนดให้ a,b,c แทนจำนวนจริงบวก และมีคุณสมบัติว่า abc = 1 จงพิสูจน์ว่า |
20. หามุม-1 (level:2) |
กำหนดให้ สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว , มุม DCE กาง 40 องศา , มุม DBE กาง 30 องศา จงหามุม BED กางกี่องศา |
21. หามุม-2 (level:2) |
กำหนดมุม ADE กาง 60 องศา , มุม ABC กาง 30 องศา , E และ C แบ่งครึ่งด้าน AB และ AD ตามลำดับ จงหามุม BAD |